Équations dans C - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans  `\mathbb{C}` les équations suivantes d'inconnue `z` .

1. `3iz+2i-3=0`

2. `(1+i)\overline{z}+1-2i=0`

3. `z+2\overline{z}=3-5i`

4. `z^2-3\overline{z}+2=0`  

Solution

  1. `3iz+2i-3=0`
On a, pour tout `z \in \mathbb{C}` ,
\(\begin{align*} 3iz+2i-3=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 3iz=-2i+3 & \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{-2i+3}{3i} & \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z =\frac{(-2i+3)(-i)}{3i \times (-i)} & \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z = \frac{-2-3i}{3} \end{align*}\)
donc \(S=\{ \frac{-2-3i}{3} \}\) .

2. `(1+i)\overline{z}+1-2i=0`
On a, pour tout `z \in \mathbb{C}` , 
\(\begin{align*} (1+i)\overline{z}+1-2i=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (1+i)\overline{z}=-1+2i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=\frac{-1+2i}{1+i} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=\frac{(-1+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=\frac{-1+i+2i+2}{1^2+1^2} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=\frac{1+3i}{2} \end{align*}\)
Or  `\overline{z} = \frac{1+3i}{2} \Leftrightarrow \overline{\overline{z}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i` , donc `S= \{ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i \}` .

3. `z+2\overline{z}=3-5i`
Pour tout  `z \in \mathbb{C}` , on pose  `z=x+iy`  avec  `x \in \mathbb{R}` et `y \in \mathbb{R}` . On a :
\(\begin{align*} z+2\overline{z}=3-5i & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+iy+2(x-iy)=3-5i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+iy+2x-2iy=3-5i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 3x-iy=3-5i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left \lbrace \begin{array}{l} 3x=3 \\ -y=-5 \end{array} \right. \ \ \text{ par unicité de la forme algébrique} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left \lbrace \begin{array}{l} x=1 \\ y=5 \end{array} \right. \end{align*}\)
donc `S={ 1+5i }` .

4. `z^2-3\overline{z}+2=0`
Pour tout  `z \in \mathbb{C}` , on pose  `z=x+iy`   avec  `x \in \mathbb{R}` et `y \in \mathbb{R}` . On a :
\(\begin{align*} z^2-3\overline{z}+2=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x+iy)^2-3(x-iy)+2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2+2ixy-y^2-3x+3iy+2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x^2-y^2-3x+2)+i(2xy+3y)=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left \lbrace \begin{array}{l} x^2-y^2-3x+2=0 \\ 2xy+3y=0 \end{array} \right. \ \ \text{ par unicité de la forme algébrique} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left \lbrace \begin{array}{l} x^2-y^2-3x+2=0 \\ y(2x+3)=0 \end{array} \right. \end{align*}\)

La seconde équation du système est une équation produit nul, elle a donc deux solutions.

Cas 1 : `y=0`  

La première équation s'écrit alors :
\(x^2-0^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0\) .

Le trinôme du second degré `x^2-3x+2` a pour discriminant  \(\Delta=(-3)^2-4 \times 1 \times 2=9-8=1\)  > 0. Comme `\Delta >0` , l'équation `x^2-3x+2=0`  a deux solutions : \(x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2 \times 1} =\dfrac{3-1}{2} =\dfrac{2}{2} =1\)  
et  \(x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2 \times 1} =\dfrac{3+1}{2} =\dfrac{4}{2} =2\)
Ainsi, l'équation  `x^2-0^2-3x+2=0` a alors deux solutions :  `z_1=1+0i=1` et \(z_2=2+0i=2\) .

Cas 2 : `2x+3=0` , c'est-à-dire `x=-\frac{3}{2}`

La première équation du système s'écrit alors :
\(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-y^2-3 \left(-\dfrac{3}{2}\right)+2=0 \Leftrightarrow \dfrac{9}{4}-y^2+\dfrac{9}{2}+2=0 \Leftrightarrow y^2=\dfrac{35}{4}\)
et elle a deux solutions :   \(y_1=-\sqrt{\dfrac{35}{4}}=-\dfrac{\sqrt{35}}{2}\) et  `y_2=\sqrt{\frac{35}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}` .

Ainsi, l'équation de départ a alors deux solutions : `z_3=-\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{35}}{2}` et `z_4=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{35}}{2}` .

Finalement : \(S= \left\{ 1 \ ; 2 \ ; -\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{35}}{2} \ ; -\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{35}}{2} \right\}\) .